Simcenter Testing Solutions FIR与IIR滤波器的介绍
2022-01-10T05:04:02.000-0500
Simcenter Testlab
摘要
由于滤波器可以对时域信号中特定的频率成分进行增溢或衰减，因而在在信号测试与分析工作中应用非常广泛。本文主要介绍FIR与IIR滤波器的区别以及其属性。
详细信息
由于滤波器可以对时域信号中特定的频率成分进行增溢或衰减，因而在信号测试与分析工作中应用非常广泛。下图1展示了一个低通滤波器的形式，其对原始时域信号的影响因素主要有3部分，即：部分频率成分信号保持不变，部分频率成分被衰减，部分频率成分从信号中彻底移除。
图2.左图为线性坐标，右图为dB坐标
图1.低通滤波器保留低频成分而高频成分被移除
滤波器除了对原始时域信号进行过滤，也可以增溢信号中的特定频率成分。滤波器对信号幅值加权的表现形式，既可以有线性坐标表示，也可用dB坐标表示，如下图2.
图2.左图为线性坐标，右图为dB坐标
dB坐标和线性坐标之间有如下关系：
1、6dB代表线性幅值衰减一半；
2、滤波器若对原始时域信号的特定频率成分既无增溢又无衰减，则线性坐标下，衰减系数为1，而dB坐标下，衰减系数为0。
如图3所示，滤波器对原始时域信号的特定频率成分进行修改后，输出一条新的时域信号数据。这类工作在实际工程中应用非常广泛。
本文主要内容如下
另外还有一些应用于特定场合的专用滤波器，
基于滤波器实现的功能，一般包括高通，低通，带阻，带通四种类型。
3、FIR和IIR滤波器的区别
FIR：为Finit Impulse Response的缩写，即，有限脉冲响应。
IIR：为Infinite Impulse Response的缩写，即，无限脉冲响应。
脉冲响应的术语来自于滤波器在时域上的表现形式。在频域上滤波器响应一般为宽频信号，因而在时域上则对应的是短时脉冲，如图6所示，
IIR和FIR滤波器的数学表达形式如下。
通过数学表达式可以看出，IIR滤波器应用了信号输出作为信号输入，因而IIR滤波器属于递归函数。基于公式，可知滤波器的实施包含以下三部分，时域信号输入，滤波器，时域信号输出，见下图7。
其中，
x（n），为输入的时域历程信号，x（0）到x（n），n为时域数据的总采样点数；
a（k），代表FIR滤波器，如果为IIR滤波器则有a和b系数项。上标N和P代表滤波顺序，以FIR滤波器为例，滤波顺序从k=0到k=N结束；
y（n），为过滤后的时域信号输出。
在实际工作中，FIR和IIR滤波器有一些非常重要的区别，总结如下，
相对于FIR滤波器来说，IIR滤波器可基于更低的过滤阶次就可以达到FIR滤波器的效果。这也就意味IIR滤波的数据运算相对较快。然而，IIR滤波器会存在相位输出非线性的问题。这就有点像龟兔赛跑的寓言一样，FIR滤波器就像乌龟，速度慢但是输出稳定，而IIR滤波器就像兔子，速度快，但时不时的会出现崩溃的现象。造成这样的区别下文会做详细介绍。
4、滤波阶次和计算效率
通过FIR滤波器的表达式可以看出，N值越大，代表滤波的阶次越高。如下图，基于10项式滤波的滤波衰减率锐度更高，但计算时长将会是5项式滤波的两倍。
滤波器的代表项越多（即，滤波阶次越高）则截止频率的过渡区间越尖锐。图10展示了基于同一类型滤波器选择不同滤波阶次的对比结果，
IIR滤波器和FIR滤波器的对比结果如图11。由于IIR滤波器应用了部分输出的信号作为输入，因而使得在同等滤波阶次的情况下，IIR的滤波锐度更高。
尽管如此，IIR滤波器有一些问题是需要使用者注意的：
延迟效应，IIR滤波器对不同频率成分的信号延迟是非线性的，而FIR滤波器是相等的。基于上述原因，IIR滤波器在结构上是不稳定的，因而在数据上有时无法进行修正。
5、时域信号延迟
将过滤后的时域信号与原始信号进行对比查看，过滤后的信号会存在一定程度的信号平移，即，时间延迟。如图13所示，振动（蓝色）信号与声音信号（红色）同步采集，过滤后的声音信号（绿色）存在一定的时间延迟。
通常情况下，轻微的时间延迟效应可以忽略不计。但在一些特定的工程应用场景下，却需要重点关注，如：
是什么原因导致了所谓的信号时间延迟呢？
以FIR滤波器的数学表达式来进行解释，如下图14。
输入信号x的数据必须经过N项式滤波器，不然滤波器不起作用。即，需要输入数据点n大于等于N时，才会有正确的数据输出。由此可知，过滤阶次越高，时间延迟也越长。
FIR滤波器和IIR滤波器的时间延迟对比如图15所示。
所有的滤波器都会使得信号存在一定的时间延迟。延迟的长短取决于滤波器的形式。
5、直接滤波与零相位滤波（Zero Phase Filtering）
时域信号的延迟效应可以通数据再滤波来消除。时域信号x（n）通过滤波器输出的y（n），将y（n）转序，再一次作为输入通过滤波器。输出结果，时间延迟得到消除。这种方法叫零相位滤波（该方法在Simcenter Testlab中只能离线处理）。
值得注意的是，输出y（n）被过滤了两次，因此幅值是双倍衰减。当使用零相位滤波的时候需要工程师考虑一下因素并基于实际情况进行权衡：
6、滤波器的属性
系数a（n）的选择对滤波器的特征和属性起到决定性的作用，如下图17
6.1 FIR滤波器的属性
FIR滤波器如下图18
图18 不同窗下的基于FIR的低通滤波器
当使用FIR滤波器选择不同类型的窗函数进行时频转换时，有以下特征：
6.2 IIR滤波器的属性
图19展示了IIR滤波器的属性，
不同IIR滤波器的特性如下：
在 Simcenter Testlab软件中，可以通过加载时域信号计算器的功能（Tools -> Add-ins -> Time Signal Calculator, 26 tokens）。在时域信号计算器的函数库中，滤波器函数分组在Conditioning组内，见图20，对于一个低通滤波器，软件内命名为FILTER_LP。
当加载了对应的滤波器后，滤波器的相关属性可以进行定义和选择，见图21
其中“Sample Frequency”只是为了显示滤波器的频率范围，对滤波器的性能没有任何影响。
“Show”按钮可对滤波器的形状，相位或延迟进行可视化显示。
1、6dB代表线性幅值衰减一半；
2、滤波器若对原始时域信号的特定频率成分既无增溢又无衰减，则线性坐标下，衰减系数为1，而dB坐标下，衰减系数为0。
图3. 低通滤波器过滤掉原始时域信号的高频成分进而输出一条光滑的曲线
如图3所示，滤波器对原始时域信号的特定频率成分进行修改后，输出一条新的时域信号数据。这类工作在实际工程中应用非常广泛。
本文主要内容如下
- 滤波器的应用
- 滤波器的类型
- FIR滤波器对比IIR滤波器
- 滤波阶次及计算效率
- 时域信号延迟
- FIR滤波器及IIR滤波器的方法和属性
- Simcenter Testlab中的滤波器
- 滤波器的应用
- 信号模数转换过程中，抗混叠滤波可移除产生混叠效应的频率成分；
- 如果音频文件中存在‘嘶嘶’声，可通滤波器移除信号中特定的高频成分；
- 如信号存在直流分量，可应用高通滤波器进行修正；
另外还有一些应用于特定场合的专用滤波器，
- 麦克风采集的声音信号，所有频率成分的加权一致，而人耳并不是。如下图4的A-计权滤波器，其对高频和低频的声音信号进行一定程度的衰减，进而使麦克风获取的时域数据更加符合人耳的听觉特性。
图4 频域下的A-计权滤波器计权特性
- 平顺性试验，由于人体对特定的振动频率非常敏感，因此ISO2631指定了对应的滤波器形式，对采集到的加速度信号进行过滤，基于过滤后的振动信号对人体健康和舒适程度进行描述。
2、滤波器的类型
基于滤波器实现的功能，一般包括高通，低通，带阻，带通四种类型。
图5 滤波器的类型
描述如下，
- 高通滤波器用于移除信号中的低频成分或直流分量。比如在应力应变测试的过程中，若只关心信号中的动态成分，便可用高通滤波器对信号中的低频漂移信号过滤。
- 低通滤波器，将信号中特定频率以上的成分进行抑制。工程上可用于移除音频文件中存在的‘嘶嘶’异响音。
- 带通滤波器，将信号中特定频率区间的成分进行保留。
- 带阻滤波器，移除信号中特定频率区间的成分。
3、FIR和IIR滤波器的区别
FIR：为Finit Impulse Response的缩写，即，有限脉冲响应。
IIR：为Infinite Impulse Response的缩写，即，无限脉冲响应。
脉冲响应的术语来自于滤波器在时域上的表现形式。在频域上滤波器响应一般为宽频信号，因而在时域上则对应的是短时脉冲，如图6所示，
图6 滤波器在频域（左）和时域（右）的形状
IIR和FIR滤波器的数学表达形式如下。
图7 X（n）时域信号输入，a（k）FIR滤波器，y（n）时域信号输出
其中，
x（n），为输入的时域历程信号，x（0）到x（n），n为时域数据的总采样点数；
a（k），代表FIR滤波器，如果为IIR滤波器则有a和b系数项。上标N和P代表滤波顺序，以FIR滤波器为例，滤波顺序从k=0到k=N结束；
y（n），为过滤后的时域信号输出。
在实际工作中，FIR和IIR滤波器有一些非常重要的区别，总结如下，
图8. IIR滤波器和FIR滤波器的区别
相对于FIR滤波器来说，IIR滤波器可基于更低的过滤阶次就可以达到FIR滤波器的效果。这也就意味IIR滤波的数据运算相对较快。然而，IIR滤波器会存在相位输出非线性的问题。这就有点像龟兔赛跑的寓言一样，FIR滤波器就像乌龟，速度慢但是输出稳定，而IIR滤波器就像兔子，速度快，但时不时的会出现崩溃的现象。造成这样的区别下文会做详细介绍。
4、滤波阶次和计算效率
通过FIR滤波器的表达式可以看出，N值越大，代表滤波的阶次越高。如下图，基于10项式滤波的滤波衰减率锐度更高，但计算时长将会是5项式滤波的两倍。
图9 不同滤波阶次的滤波锐度对比
滤波器的代表项越多（即，滤波阶次越高）则截止频率的过渡区间越尖锐。图10展示了基于同一类型滤波器选择不同滤波阶次的对比结果，
图10 滤波阶次越高，滤波锐度越高
IIR滤波器和FIR滤波器的对比结果如图11。由于IIR滤波器应用了部分输出的信号作为输入，因而使得在同等滤波阶次的情况下，IIR的滤波锐度更高。
图11 IIR滤波器和FIR滤波器在同等滤波阶次情况下的表现
换句话来说，IIR滤波器使用更低的滤波阶次，便可达到FIR滤波器同等性能表现的效果。见下图12
图12 更低阶次IIR滤波器便可达到FIR滤波器同等的性能表现
这就使得IIR滤波器的计算效率高于FIR滤波器。因此，在实际工作中，想实时跟踪滤波后的信号，一般建议使用IIR滤波器会更好。尽管如此，IIR滤波器有一些问题是需要使用者注意的：
延迟效应，IIR滤波器对不同频率成分的信号延迟是非线性的，而FIR滤波器是相等的。基于上述原因，IIR滤波器在结构上是不稳定的，因而在数据上有时无法进行修正。
5、时域信号延迟
将过滤后的时域信号与原始信号进行对比查看，过滤后的信号会存在一定程度的信号平移，即，时间延迟。如图13所示，振动（蓝色）信号与声音信号（红色）同步采集，过滤后的声音信号（绿色）存在一定的时间延迟。
图13 过滤后的信号（绿色）相比于原始时域信号（红色）存在时间延迟
通常情况下，轻微的时间延迟效应可以忽略不计。但在一些特定的工程应用场景下，却需要重点关注，如：
- 故障诊断：在进行振动噪声信号相关分析的时候，一般会通过信号特征，查找噪声是否为振动引起的。但如果滤波器导致信号的时间延迟，这将会对振动噪声的相关分析带来困难。
- 工作变形分析：进行ODS分析时，如果部分通道加了滤波器，而部分没有加，这会导致ODS的动画不正确。
是什么原因导致了所谓的信号时间延迟呢？
以FIR滤波器的数学表达式来进行解释，如下图14。
图14 FIR滤波器的数据处理过程
输入信号x的数据必须经过N项式滤波器，不然滤波器不起作用。即，需要输入数据点n大于等于N时，才会有正确的数据输出。由此可知，过滤阶次越高，时间延迟也越长。
FIR滤波器和IIR滤波器的时间延迟对比如图15所示。
图15 FIR滤波器在全频带上的延迟时间相等，而IIR滤波器在各个频率上非线性，一般情况截止频率处的时间延迟最长
所有的滤波器都会使得信号存在一定的时间延迟。延迟的长短取决于滤波器的形式。
5、直接滤波与零相位滤波（Zero Phase Filtering）
时域信号的延迟效应可以通数据再滤波来消除。时域信号x（n）通过滤波器输出的y（n），将y（n）转序，再一次作为输入通过滤波器。输出结果，时间延迟得到消除。这种方法叫零相位滤波（该方法在Simcenter Testlab中只能离线处理）。
图16 原始时域信号（红）通过直接滤波（绿）和 通过零相位滤波
值得注意的是，输出y（n）被过滤了两次，因此幅值是双倍衰减。当使用零相位滤波的时候需要工程师考虑一下因素并基于实际情况进行权衡：
- 计算时长加倍；
- 仅对数字信号起作用，无法对模拟信号起作用；
- 信号尾部存在数据丢失。
6、滤波器的属性
系数a（n）的选择对滤波器的特征和属性起到决定性的作用，如下图17
图17, 通过，过渡，截止
滤波器的特征属性包括四方面：
- Pass Band通过带宽，直接影响最终的输出数据。为了保证通过区域内的数据与原始时域数据一致，在该区域内滤波器应该没有震荡。理想情况为，通过区域的幅值始终为1；
- Transition Band 过渡带宽，理想情况为越窄越好。滤波器的类型，以及过滤阶次决定了过渡带宽的宽度。
- Stop Band，截止带宽，该区域如果存在震荡，也会影响最终数据的输出。
- 时间或相位延迟，其取决于频率成分，通过前文描述，可通过零相位滤波器进行消除。
6.1 FIR滤波器的属性
FIR滤波器如下图18
图18 不同窗下的基于FIR的低通滤波器
当使用FIR滤波器选择不同类型的窗函数进行时频转换时，有以下特征：
- Chebyshev窗：截止带宽震荡最小，但过渡带宽最慢。
- Hamming窗：过渡带宽最窄，相比于Hanning窗，震荡稍小。
- Kaiser窗：截止带宽震荡较小，过渡带宽略优于Chebyshev窗。
- Hanning窗：过渡带宽最窄，但是截止带宽震荡较大。
- Rectangular窗：通过带宽存在震荡，截止带宽震荡最大。
6.2 IIR滤波器的属性
图19展示了IIR滤波器的属性，
图19 基于IIR方法在不同窗函数下的低通滤波器
不同IIR滤波器的特性如下：
- Butterworth窗：通过和截止带宽响应最为理想，但过渡带宽交宽。
- Inverse Chebyshev窗：通过带宽无震荡，相比于Butterworth窗，过渡带宽较窄，但是在截止带宽内存在震荡。
- Chebyshev窗：在通过带宽内存在震荡，相比雨Inverse Chebyshev窗，过渡带宽更窄。
- Causer窗：过渡带宽最窄，但通过和截止带宽存在震荡。
- Bessel窗，通过带宽中幅值存在一定斜率，且过渡带宽非常宽。
在 Simcenter Testlab软件中，可以通过加载时域信号计算器的功能（Tools -> Add-ins -> Time Signal Calculator, 26 tokens）。在时域信号计算器的函数库中，滤波器函数分组在Conditioning组内，见图20，对于一个低通滤波器，软件内命名为FILTER_LP。
图20 时域信号计算器中的滤波器函数库
当加载了对应的滤波器后，滤波器的相关属性可以进行定义和选择，见图21
图21 滤波器的的属性设置
其中“Sample Frequency”只是为了显示滤波器的频率范围，对滤波器的性能没有任何影响。
“Show”按钮可对滤波器的形状，相位或延迟进行可视化显示。
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