Simcenter Testing Solutions The theory of Kurtosis and how to set up in the Testlab

요약

This article explain the theory of Kurtosis and how to set up in the Testlab. You can use the Kurtosis function for analysis through the Vibration Control application and the Frame Statistics of the Signature Acquisition.

세부 정보

Kurtosis(k)는 가우스 분포에 상대적인 신호의 분포 형태를 정량화하는 통계방법(단위 없는 변수)입니다. 아래 그림1과 같이 Sharper, flatter, 또는 가우시안 분포와 같을 수 있습니다.


 

그림1. Kurtosis 값은 신호 분포에 따라 음수, 양수 또는 0입니다.

 

신호의 분포를 보면, 분포의 특성을 정량화하기 위해 Kurtosis가 사용될 수 있습니다. 
 

1. Random : Gaussian random 분포가 있는 타임 도메인 신호는 Kurtosis값이 0입니다(mesokurtic 메소쿠르틱 분포라고도 함).
2. Transient : time domain transient 또는 spikey 신호는 Kurtosis값이 0보다 큽니다(leptokurtic 렙토쿠르틱 분포라고 함).
3. Deterministic : sine 또는 square파와 같은 고정 신호는 Kurtosis값이 0 미만 입니다(platykurtic 분포라고 함).

(참고)
Lepto는 그리스어로 “날씬한”, “가느다란”을 의미
Platy 는 “넓은”, “뚱뚱한”을 의미
Meso 는 “중간” 을 의미


Kurtosis statistic는 신호를 분석할 때 다양한 응용 프로그램에 적용이 가능합니다. 예를 들어 기어의 이상 현상(nicks in a gear pair), 진동 신호의 damage spikes, transient sounds의 sound quality indicator, 주가의 변동성과 같은 이상 징후(이례적인 현상)에 대한 신호를 분석하는 데 사용할 수 있습니다.
 

 

1. 히스토그램과 Kurtosis

타임 도메인 신호의 분포를 결정하는데 히스토그램 사용이 가능합니다. Kurtosis가 단일 값을 나타내는 경우에 히스토그램은 XY 플롯에서 특정 진폭 값이 발생하는 횟수를 보여줍니다. 히스토그램을 계산하기 위해서 타임 신호의 y 축은 classes(또는bins)라고 하며, 이산 단계로 나누며, 그림 2에서 y 축은 4개의 classes 로 나누어져 있습니다. 그리고 각 클래스에 포함되는 데이터 점들의 갯수를 확인합니다. 사각파에서 히스토그램의 분포는 명확합니다. 양극단(클래스 1, 4)에서는 많은 양의 데이터 포인트가 있으며, 중심(클래스 2, 3)에는 데이터 포인트가 거의 없습니다. 그림 3과 같이 과도 신호와 같은 다른 신호도 구별되는 히스토그램 분포를 가지고 있습니다.
 

그림 2. 사각파의 히스토그램 분포(4개 클래스)

과도 신호의 히스토그램에서는 많은 수의 데이터 포인트가 존재하는 1개의 클래스 (클래스 2)를 보여줍니다. 그리고 다른 클래스에서는 데이터 포인트가 거의 존재하지 않습니다. (클래스 1, 3, 4) 
 

그림 3. 과도 신호 히스토그램 분포

이런 히스토그램은 그림 4에서와 같이 Gaussian random histogram과 비교해 볼 수 있습니다. 각 히스토그램에는 고유한 Kurtosis 값이 있으며, 일반적으로 히스토그램은 예제에 보여준 4 가지 보다 많은 클래스(또는 빈)를 사용해서 계산이 됩니다.

 

그림 4. 사각, 가우시안, 과도 히스토그램 및 해당 Kurtosis 값
 

 

2. Kurtosis value & Kurtosis excess

타임 신호에 대한 kurtosis 값은 Equation1로 계산할 수 있습니다.

방정식 1: Kurtosis 계산식

여기에서 :

• k = kurtosis값
• n = 타임 신호의 데이터 포인트 수
• x = 각 데이터 포인트 n에서의 진폭 값
• x̄ = 모든 데이터 포인트의 평균
• i = 샘플에 대한 카운터

이 결과에서 가우시안 분포의 kurtosis가 0이 되도록 보정하기 위해 3을 빼주게 됩니다.
많은 시간 신호에는 특정 kurtosis 숫자를 가집니다

• Square Wave: k = -2.0
• Sine Wave: k = -1.5
• Gaussian random: k = 0
• Transient = Positive number (higher, more transient)

앞에서 언급했듯이 -3을 포함하거나 또는 다른 kurtosis에 포함되지 않을 수도 있습니다. 그렇기 때문에 kurtosis 계산에서 -3을 사용되고 있는지를 먼저 체크해야 합니다. 이러한 차이점을 구별하기 위해서 " kurtosis 와 kurtosis excess 라는 용어를 사용합니다.

Kurtosis :  Kurtosis 값에서 3을 빼지않았습니다.

• Square wave has kurtosis equal to 1
• Sine wave has kurtosis equal to 1.5
• Gaussian random has a kurtosis equal to 3

Kurtosis excess : Kurtosis 값에서 3을 뻰 것을 의미합니다.

• Square wave has kurtosis equal to -2
• Sine wave has kurtosis equal to -1.5
• Gaussian random has a kurtosis equal to 0

Simcenter Testlab에서는 각 라이선스 모듈에 따라서 kurtosis 또는 kurtosis excess가 사용되고 있습니다. Random Control에서는 kurtosis control 이라고 불리는 kurtosis가 사용되고 있고, Throughput Processing에서는 kurtosis excess를 사용하고 있습니다.

 

3. Kurtosis as a Sound Metric

Kurtosis는 " clicks", "clunk"및 "ping"과 같은 유사한 유형의 transient sound signals를 구별하는 데 사용 가능합니다. 그림 5에서 두 개의 일시적 클릭 사운드 (Pascals 대 time)가 있습니다. 두 신호의 피크 진폭은 동일하며 한 번의 클릭으로 약간 더 길게 나타납니다. 그림5를 실행해서 2번의 클릭 소리가 어떻게 다른지 들어 볼 수 있습니다. 

 

그림 5: 두번의 클릭시 사운드 시간 기록. 
파란색 : "짧은" 클릭 시간
빨간색 : "긴" 클릭 시간

클릭 수를 들어보면, "짧은 클릭"이 더 높은 pitch로 들립니다. 긴 클릭은 낮은 pitch로 들립니다. 입니다. (참고  헤드셋에서는 "낮은 클릭"소리가 들릴 수 있습니다).

유사한 시간 파형임에도 불구하고, kurtosis 값은 전혀 다른 결과를 보여줍니다. 짧은 클릭의 경우 kurtosis 값은 120을 초과합니다. 긴 클릭의 경우에는 kurtosis 값이 40미만으로 보여집니다. 이렇게 kurtosis(k)는 두 신호 사이의 큰 차이를 보여주고, 시간 파형의 결과는 그림 6과 같습니다.
 

그림 6: 짧은 클릭 및 긴 클릭에 대한 Kurtosis 프레임 계산 및 시간 파형

Simcenter Testlab Throughput Processing를 사용하여 kurtosis excess를 계산 가능합니다. 분석을 위해서 0.005초 단위로 0.05초의 프레임 크기를 갖는 프레임 분석을 할 수 있습니다. 이 분석을 하기 위한 2가지 기본 설정은 그림 7과 같습니다.

 

그림 7: Acquisition parameters에서 설정 방법

 

Section 설정 : Frame Statistics 탭에서 Kurtosis (excess)를 체크합니다.
 

 

그림 8: Throughput Processing → Section Settings → Frame Statistics → Kurtosis (excess)



 

4. Vibration Control에서 Kurtosis 설정 방법

 

쉐이커 시스템을 사용하는 경우에 Random Vibration Excitation을 적용하는 것이 일반적입니다. 타겟은 실제 생활 환경을 시뮬레이션하고 이 때 해당 제품이 정상적으로 작동하며, 원하는 기대 수명 동안 fail이 나타나지 않는지 확인하기 위해서 이런 테스트를 수행하는 것입니다. 진동의 equivalent lifetime은 그림 9와 같은 쉐이커 시스템 구성을 통해서 재현이 가능합니다.

 

그림 9: Random shaker control 테스트 설정

 

Random Vibration의 Target 프로파일은 PSD(Power Spectral Density)를 사용하여 표현을 합니다.  PSD결과는 SCADAS 하드웨어의 소스채널을 통해서 출력되어 대상체의 일부 위치에서 컨트롤 됩니다. PSD는 원래 시간 데이터의 주파수 및 RMS 값 등을 가지는 것은 괜찮지만, 원본 시간 데이터의 Spikiness와 같은 성분을 가지는 것은 좋지 않습니다.

진동을 측정 할 때, 시간 데이터의 스파이크 성분은 매우 중요하며, 일시적인 스파이크는 매우 위험한 이벤트 성분이 됩니다. Kurtosis는 PSD로 수행 할 수 없는 시간 데이터 스파이크를 가지고 있습니다.

kurtosis control의 중요성을 설명하기 위해 그림 10에 있는 4개의 PSD를 살펴보며, 전부 0.25g의 RMS 값을 가지는 유사한 주파수 성분을 가지고 있습니다.

 

그림 10: 유사한 주파수 성분과 동일한 RMS 진폭을 가지는 4개의 PSD 그래프

 

그러나 계산된 PSD의 원본 시간 기록을 살펴보면 모두 동일하지 않은 것을 알 수 있습니다. 아래 그림 11 적색 타임데이터는 자주색 타임 데이터 보다 훨씬 높은 진폭 피크를 가지고 있습니다. 이것은 자주색(k = 3)보다 높은 kurtosis 값 (k = 12)을 갖는 time 히스토리에 기인합니다. 이것은 적색 타임 데이터에 더 많은 진폭 피크와 매우 위험한 데미지 이벤트를 포함하고 있음을 의미하는 것 입니다.
 

 

그림 11: 타임 히스토리에서 kurtosis 값이 클수록 damaging peak가 더 높고 더 자주 나타납니다.
 

타임 데이터에서 kurtosis가 증가하면 더 많은 진폭 스파이크가 생성 될 수 있음을 알기에 (그림 11), 원래 타임 히스토리의 가장 중요한 부분을 보존하기 위해서 Gaussian distributed random 에서 kurtosis를 사용할 수 있습니다.

 

Simcenter Testlab Random Control 에서 Kurtosis Control을 사용하려면 그림 12와 같이 "Tools → Add-ins"에서 "Kurtosis Control"을 체크합니다.

 

그림12: Tools → Add-ins → Kurtosis Control
 

그림 13과 같이 "Random Control Setup" 워크시트에 원하는 첨도 값을 넣어 줍니다. 여기에서는  Kurtosis 값으로 3을 사용했습니다.

 

그림 13: Random Control설정, “Desired Kurtosis value”에서 kurtosis 를 컨트롤 합니다.


 

 

kurtosis 값 설정 이후에 시그마 클리핑 설정도 할 수 있습니다. 시그마 클리핑은 Advanced Control Setup (그림 14)의 kurtosis 탭에서 입력해 줍니다. Use Kurtosis Control을 체크하고  시그마 클리핑을 설정합니다.

 

그림 14: 시그마 클리핑

 

5. 시그마 클리핑(Sigma clipping)
 

가우시안 진폭 분포(Gaussian amplitude distribution)가 주어지면 진폭 값은 이론적으로 무제한 레벨까지 가능합니다. 가우시안 정규 분포(Gaussian normal distribution)를 보면 샘플 수가 y 축에 있고 진폭이 x 축에 있습니다. 대부분의 샘플은 중간 정도의 진폭 (테스트에 적합한 진폭)으로 떨어집니다. 

그러나 매우 위험하고 높은 진폭 이벤트가 발생할 수 있는 기회(낮은 확률)가 있습니다 (그림 15). 가우시안 랜덤 분포(Gaussian random distribution)에서 이 진폭 값은 샘플 수가 매우 작습니다.  만약 시그마 클리핑이 없으면 이러한 이벤트 중 하나가 테스트 중에 발생할 수 있는 위험이 있습니다.


 

그림 15: 다른 시그마 값은 가우시안 무작위 분포에 포함되는 값에 영향을 미칩니다.

시그마 클리핑을 사용해서 사용자는 낮은 확률로 발생할 수 있지만 반면에 이러한 매우 위험한 이벤트를 사전에 방지 할 수 있습니다. 시그마 클리핑은 랜덤 컨트롤에서 드라이브 신호의 동적범위(dynamic range)를 줄이는 테크닉입니다.

시그마는 피크 값과 RMS 값의 비율 (크레스트 팩터)으로 정의됩니다. 기본적으로 이 시그마 클리핑 값은 20으로 설정되어 있고, 이 값은 진폭 값의 99.99 %가 그대로 전달됨을 의미합니다.
 

만일 더 낮은 시그마 값 (예를 들어 3)을 설정하게 되면, 드라이브 신호는 피크가 사용자가 정의한 임계 값을 넘지 않도록 만들어지게 된다. 반면에 이렇게 시그마 값을 변경하게 되면 결과 분포는 더 이상 본래신호와 일치하지 않을 수도 있습니다.

시그마 클리핑 값을 3으로 설정하게 되면 매우 위험한 이벤트 성분이 타임 히스토리에서 제거되고, 그림 16과 같이 드라이브 프로파일에 포함되지 않습니다.

 

그림 16: 다른 시그마 값은 가우시안 랜덤 분포에 포함되는 값에 영향을 주게됨

그림 17의 히스토그램은 시그마 클리핑이 분포에 미치는 영향을 보여줍니다. 여기에서는 2개의 타임 히스토리가 보여지고 있습니다. 두 신호 모두 kurtosis 값은 3 (Gaussian random)이지만, 시그마 클리핑 값은 3과 20으로 설정을 하였습니다.

두 신호의 전반적인 분포는 거의 유사하지만, 히스토그램의 상단 부분을 확대해 보면 시그널 클리핑 값이 20 (분홍색) 인 신호는 클리핑 값이 3으로 설정된 신호보다 진폭 이벤트가 높습니다.


 

그림 17: 두 신호 모두 kurtosis 가 3입니다(가우스 랜덤).
파란색 그래프의 시그마 클리핑은 3
분홍색 그래프의 시그마 클리핑은 20
 

이렇게 시그마 클리핑을 사용하게 되면, 위험한 이벤트가 일어날 가능성을 낮출 수 있습니다. 랜덤 컨트롤 테스트를 수행 하는 경우에, Kurtosis와 시그마 클리핑을 고려해 주어야 합니다. Kurtosis는 시그널의 최고 진폭인 스파이크 성분을 보존 할 수 있으며, 시그마 클리핑은 가능성은 낮지만 매우 큰 데미지 발생을 일어나지 않게 해 줍니다.